回折ピークの関数形

 

Toraya(1990)によれば、回折ピーク関数には、
・Symmetric Pseudo Voigt: ガウス関数とローレンツ関数の混合
・Split Pseudo Voigt: Symmetric Pseudo Voigtを非対称に拡張
・Symmetric PearsonVII: 確率密度分布関数のひとつ
・Split Pearson VII: PearsonVIIを非対称に拡張
といった関数形を利用するとよいらしいです。具体的には以下のような形になります。


Symmetric Pseudo Voigt:

  f(x, \eta, H_k) = \cfrac{2}{H_k \pi} \left(  \cfrac{\eta}{1+ \left(\cfrac{2x}{H_k}\right)^2} +  (1-\eta) \sqrt{\pi\ln2} \cdot 2^{-\left(\cfrac{2x}{H_k}\right)^2}  \right)

Split Pseudo Voigt:

  f(x, \eta_l,\eta_h, A, H_k) =  \cfrac{2}{ H_k \pi + \cfrac{H_k \pi (\eta_h-\eta_l)(\sqrt{\pi\ln2} - 1) }{(1+e^A)(\eta_h+ \sqrt{\pi\ln2} (1-\eta_h))}}  \left(  \cfrac{\eta_l}{1+\left(\cfrac{e^A+1}{e^A}\cdot\cfrac{x}{H_k}\right)^2} + (1-\eta_l)\sqrt{\pi\ln2} \cdot 2^{-\left(\cfrac{e^A+1}{e^A}\cdot\cfrac{x}{H_k}\right)^2}  \right)

オリジナルの形からA \rightarrow e^{A}と変更しています。また、上式はX<0 のとき。X>0  のときは、 \eta_h\Leftrightarrow\eta_l, A\Leftrightarrow -A と置き換えます。


Symmetric Pearson VII:

  f(x, R, H_k) =  \cfrac{2\sqrt{2^{1/R}-1}\cdot \Gamma(R)}{H_k\sqrt\pi \cdot \Gamma(R-1/2)}  \left(  1 + (2^{1/R}-1) \left(\cfrac{2x}{H_k}\right)^2  \right)^{-R}

Split Pearson VII:

  f(x, R_l, R_h, A, H_k) =  \cfrac{2(1+e^A)}{ H_k \sqrt\pi}  \left(  e^A \cfrac{\Gamma(R_l-1/2)}{\sqrt{2^{1/R_l}-1}\cdot\Gamma(R_l)} + \cfrac{\Gamma(R_h-1/2)}{\sqrt{2^{1/R_h}-1}\cdot\Gamma(R_h)}  \right)^{-1}  \left(  1+(2^{1/R_l}-1)\left(\cfrac{e^A+1}{e^A}\cdot\cfrac{x}{H_k}\right)^2  \right)^{-R_l}

ただし、上はX<0 のとき。\Gamma() はガンマ関数。X>0  のときは、 R_h\Leftrightarrow R_l, A\Leftrightarrow -A と置き換えます。

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